分类讨论思想在初中数学解题中若干应用

摘 要 分类讨论思想是初中数学中重要的数学思想之一。本文主要从数与式、解方程、几何和函数的四个方面，通过典型例题的浅析，阐明了分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用。最后对如何提高初中生分类讨论思想应用水平提出若干建议，旨在帮助学生能够更好的认识和理解分类讨论思想，并将分类讨论思想运用到实际的解题当中去。

关键词：分类讨论思想；
初中数学；
解题能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematical thoughts in junior middle school mathematics. In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typical examples, the author expounds the application of classified discussion in junior high school mathematics problem-solving. Finally, some suggestions are put forward on how to improve the application level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and apply the classified discussion ideas to the actual problem-solving. Key words：Classified Discussion Thought; Junior Middle School Mathematics; Problem Solving Ability 目 录 1 引 言 1 2 分类讨论思想概述 2 3 分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用 3 3.1 分类讨论思想在数与式的应用 3 3.2 分类讨论思想在解方程的应用 4 3.3分类讨论思想在几何的应用 6 3.4分类讨论思想在函数的应用 8 4 提高初中生分类讨论思想应用能力的几点建议 11 4.1 课堂中加强数学思想的渗透 12 4.2 加强学生基础知识的学习 12 4.3提高意识，增加练习量 12 4.4 端正学生学习态度 13 5 结 论 13 致 谢 15 参 考 文 献 16 1 引 言 数学史不仅需要考虑到新概念和新定理，更加需要关注数学思想方法的形成发展。1956年，前苏联数学家亚历山大洛夫发表了《数学——它的内容，方法和意义》[1]寓意深刻的数学思想方法于浅显的数学知识中，曾对中学数学教学造成不小影响。美籍匈牙利数学家波利亚在《数学的发现》、《数学与猜想》、《怎样解题》等著作中阐述了许多数学思想方法[2]。1969年，日本数学教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》[3]系统阐述了贯穿于整个数学的一些重要数学思想。在我国，徐利治教授曾出版近十部著作论述数学方法，如极具代表性的《数学方法论选讲》[4]。南京大学郑毓信教授于1985年出版的《数学方法论入门》[5]，推进了我国数学教育工作者深入开展数学思想方法的研究。1989年，王仲春、李元忠教授出版了《数学思维与数学方法论》[6]一书，比较系统的阐述了数学思维和数学思想方法。钱佩玲教授主编的全国中小学教师继续教育教材《中学数学思想方法》[7]一书，对中学数学思想方法进行了阐述和研究。

自2001年以来，新课程改革在我国被全面推进，在初中数学的教学里，数学思想在学生对数学基础知识和基本技能方法的学习过程中，逐渐显现出其重要性。就如何培养学生加强数学思想方法的研究和训练成为初中数学的一大课题。正如日本数学教育家米山国藏所说：“数学的知识可以记忆一时，但数学的精神、思想和方法却随时随地发挥作用，可以使人受益终生[3]。”它需要熟练掌握教科书里的基本概念和公式，更加需要理解数学知识背后所隐藏的思想方法。数学思想方法如若能被学生掌握了，对于知识的获取才能更加快捷，对于知识的理解才能更加透彻。其中，分类讨论思想作为不可或缺的方法之一，在初中升学考试的杠杆压力下，无法得到教师、学生良好的探究。

部分教师对于初中数学中与分类讨论思想有关的安排和地位认识模糊不清，使得在讲解题目中未能及时渗透该思想，也未归纳总结分类讨论思想在初中数学学习中的几类应用。使学生遇到题目是否要进行分类讨论仍缺乏分类探讨的意识，甚至有的同学产生思维定式，遇到题目就直接进行分类，忽略了有时候分类讨论是在具体作答过程中随机产生的。而掌握分类讨论思想的精髓，会用分类讨论思想分析和解决数学问题，是《课标》中的基本要求[10]。基于上述情况，探讨初中数学分类讨论思想在解题中的几类应用并提出提高初中生分类讨论思想水平的建议是一项有益处的工作。

2 分类讨论思想概述 当问题所给的对象不能统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准分类，然后对每一类别分别研究得出相应的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答[11]，即分类讨论思想的概念。所以，要进行分类讨论即“化整为零，各个击破，再积零为整”[8]。

在运用分类讨论思想时，应遵循同一性原则、完整性原则、互斥性原则和逐级性原则[9]。

同一性原则是指针对同一个问题，如果选择的划分标准不一样那么就会得到不同的分类情况，所以需要采用统一的标准解决分类讨论的相关问题。例如，讨论两个集合之间的包含关系，需要对其中一个集合是否为空集进行判断，这就是从同一性原则出发进行分类讨论。

完整性原则是在分类过程中，要确保化整为零再积零为整，切不可遗漏任何一种分类情形。例如，把三角形分为锐角三角形和钝角三角形，没有考虑直角三角形，这与分类讨论思想的完整性原则不符。

互斥性原则中讨论的每个分支必须相互排斥，不可以有公共部分。例如，在对一组数进行有无理数分类时，不能在不同的类别内出现相同的数，否则不光违反了题意里分类的互异性，也违背了互斥性原则。

逐级性原则指每次分类都可以一次完成，遇到复杂的题目时，可能需要进行逐级分类，才能解决问题。例如，在含有参数的二次项系数的函数中讨论根的存在情况，就不仅需要对参数是否为零进行讨论，还要运用到韦达定理与根的判别式的分类情况进行作答，这便体现了分类讨论的逐级性原则。

分类讨论思想的一般类型有从数学基本概念引起的分类讨论，例如，绝对值、有理数无理数和单项式多项式等等；
根据公式或函数的性质引起的分类讨论，例如，探究函数的奇偶性和单调性等等；
根据图形位置变化引起的分类讨论，例如，点与三角形、直线与圆的位置关系，需要考虑点的坐标、直线斜率的几种情况等等；
根据参数自身变化引起的分类讨论，例如，探讨解方程问题时，方程系数中的元素带有参数，解决函数问题时，函数表达式中带有参数等等。

不同类型的分类讨论题目，主体利用的基本原则侧重点有所不同，只有不断练习，分类讨论思想才能自然形成、根深蒂固。

3 分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用 在初中数学中，对分类讨论是本着先易后难，循序渐进的原则，把分类讨论思想分成两个层次，先分类后讨论[12]。分类讨论思想的运用在基础题和综合题多有体现。本文选取数与式、解方程、几何和函数这四个主要方向的经典题进行论述，从题目立意、解题过程、注意知识点等进行分类讨论思想的应用分析。

3.1 分类讨论思想在数与式的应用 在中考中，考查数与式分类的题目一般以选择题或填空题出现，虽然所占分值不高，考察内容也相对简单。但其在初中数学的学习中也是不容忽视。在初中阶段，这是学生第一次接触分类讨论的内容，学生所掌握的分类技巧或多或少会影响到后续的学习，应当引起教师们在教学中的重视。下面，通过例题来展示分类讨论思想在数与式中的具体应用，旨在提高学生分类讨论意识和能力。

例1 试比较与的大小。

解析：初中有许多种比较大小的方法，常用的一种方法是作差法。对两个数量作减法，通过判断差值的大小从而来判断原数量的大小。如即；
即；
即。本题因为含参，最后需再通过对参数的谈论来确定结果。

解：对与作差，即；

对进行分类讨论：
当时，，即，即；

当时，，即，即；

当时，，即，即。

答：当时，；
当时，；
当时，。

注意：这是初中数与式里运用分类讨论的经典题型，确定完参数的大小后，来判断原来两个元素的大小。例1是由参数自身变化所引起的分类讨论，对含有参数的两个式子作差化简后，与0的关系进行讨论，满足分类讨论思想的同一性原则；
考虑到参数的所有情况后，如若有不满足条件的取值，略去，体现了分类讨论思想的同一性和完整性原则。除此之外，在分类讨论过程中格式采用了“当…时，…；
当…时，…；
”，规范了答题过程，使分类过程一目了然。

例2 当时，化简。

解析：本题如何化简取决于绝对值符号内式子的大小，式子大于等于零直接去绝对值，式子小于零添加负号。据此原则，通过对参数大小的分类进行化简。

解：因为，要化简，需要对绝对值符号内式子的正负进行判断。

当， 时，，；

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，；

所以当， 时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，。

注意：例2是含参数的绝对值的化简，需要判断绝对值符号内式子的正负性。参数需要与-1进行比较分类，参数需要与1进行比较分类，需要进行二级分类讨论，得出参数和最终的取值范围，从而确定正负进行化简。这符合分类讨论思想的逐级性原则。在分类时，等于-1，等于1的情况也包含，这体现分类讨论思想的完整性原则在分类讨论过程中，采用分类讨论的并列格式使分类情况清晰明了、层次分明，有助于学生理解答题步骤与详细的解题过程。

3.2 分类讨论思想在解方程的应用 在初中数学中，方程考察分类讨论思想的主要方面是含参方程的求解。方程的系数含参，不同此项的系数含参结果不同，先分类再运用根的判别式进行求解、讨论。学习此类问题的解题有助于促进学生对分类讨论思想的进一步认识，增强学生的分析能力和思维能力。下面，通过解方程问题来具体说明分类讨论思想在解方程中如何具体的进行运用。

例3 存在关于的方程， （1）判断该方程根的情况。

（2）若该方程与一元二次方程有一个相同的解，一元二次方程有实数根，且h为符合条件的最大整数，求此时的取值。

解析：因为方程的二次项系数含参，所以先分类该方程是否为一元二次方程，根据根的判别式进行解析；
根据题意求解h的值，从而解出一元二次方程，又因为两方程有同解，从而对的取值进行分类讨论，得出的取值。

解：（1）当时，即时，方程为一元一次方程，只有一个实数根。

当时，即时，方程为一元二次方程，此时 （i）当时，即时，方程有两个不相等的实数根；

（ii）当时，即或时，方程有两个相等的实数根；

（iii）当即或时，方程没有实数根；

所以当时，方程只有一个实数根；

当且时，方程有两个不相等的实数根；

当且或时，方程有两个相等的实数根；

当且或时，方程没有实数根。

（2）由于的一元二次方程有实数根，所以根据根的判别式可得：
， 解得， 又因为是符合条件的最大整数，所以；

将代入得， 解得，， 当两个方程相同的根为3时，将代入，解得，符合；

当两个方程相同的根为2时，将代入，解得，符合。

注意：这是属于方程根的判别式常规的考题，对于基础知识判别条件的记忆必须准确。二次项系数含有参数从而分类为一元一次方程还是一元二次方程；
通过对是大于、等于或小于零的情况分类，进而讨论根的情况，这符合分类讨论思想的逐级性原则和同一性原则。在作答过程中，做到不重复不遗漏、条理清晰、层次清楚，符合分类讨论思想的完整性原则。

3.3分类讨论思想在几何的应用 在初中数学的几何里，三角形是最常考查的图形，会运用到分类讨论思想方法在具体题目中作答的有三角形某角度为顶角或底角、某长度为具体哪条边长的讨论；
有为高分值的解答题，至少为中难题程度，一般为探究性问题，如在规则图形内存在的比值或线段之间的数量关系。在几何内的分类讨论常需要和方程相结合，设立方程解出答案。下面，通过几道典型例题来具体阐述分类讨论思想在几何中此类问题的运用，旨在提高学生的分析能力和逻辑思维能力，增强学生解题中的分类讨论意识。

例4 在三角形中，,为边上的高，且，求。

解析：在本题中，三角形为锐角、直角还是钝角三角形并不确定，需根据不同情况进行分类，看到要联想到运用相似三角形进行解题。

解：当三角形的高在三角形内部时， 因为， 所以， 所以,, 在中，， 所以；

当三角形的高在三角形外部时， 因为, 所以, 所以，， 在中，, 因为三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和， 所以。

即当三角形的高在三角形内部时，；
当三角形的高在三角形外部时，。

注意：例4是由角度所引起的讨论，高在三角形内部，此三角形只可能为锐角或直角三角形，高在三角形外部，此三角形只可能为钝角三角形。这类问题是由三角形基本定义所引起的分类讨论，从同一性原则出发考虑高在内部与外部的情况，同时也参照分类讨论思想的完整性原则，进行分类讨论。

例5 已知三角形HCG周长为32厘米，，其中一边边长是另一边边长的2倍，长多少厘米？ 解析：三角形共三条边，其中两边相等，有一边边长是另一边边长的两倍，因为不知道字母所对应的边长，所以在解题时就会有两种情况，或,需要分类讨论。三角形是初中几何中最常考查的图形，不同三角形的相关性质有所差异。

解：设， 当时， 据题意，列，解得厘米，则厘米；

当时， 据题意，列，解得厘米，则厘米；

检验：当时，三边长为12.8厘米，12.8厘米，6.4厘米，任意两边之和大于第三边，可组成三角形；

当时，三边长为厘米，厘米，厘米，任意两边之和不大于第三边，不可组成三角形，舍去。

所以长12.8厘米。

注意：在初中数学的几何中，三角形是最常考查的图形，例4和例5都是对三角形进行分类讨论，但例5需要用到由边长变化所引起的分类讨论，即有一边边长是另一边边长的两倍，在解题时就会有两种情况，或需分类讨论，体现了分类讨论思想的完整性原则。本题还需要注意的是最后的检验步骤，三角形两边之和要大于第三边。据此来检验答案是否相符。同理的角度问题，三角形内角和等于一百八十度，这也是最终检验的标准之一。在例5的分类讨论过程中运用并列格式“当…时，…；
当…时，…；
”，完善了作答过程，使分类情况一目了然，便于理解。

3.4分类讨论思想在函数的应用 初中数学中函数知识起着启蒙的作用，在中考中所占比重也是很大的，在客观题和主观题上均有考查。其中导数在研究函数问题上起着重大作用，分类讨论的思想也在其中得到广泛的应用。例如，求解函数的最值、函数的解析式、函数的性质以及与其它函数或几何有关的综合问题等等。通过分析典型例题，提高学生的分类能力和思维能力，增强学生在函数题目中运用分类讨论的意识。下面，通过列举求解函数的值、函数与几何相结合的情况来具体说明。

例6 求函数的图像与x轴的交点。

解析：此函数的二次项系数含有参数，所以无法确定它是二次函数还是一次函数，需要对进行分类讨论。再根据题意解题，与x轴的交点其y值等于零，分类后即可解析。

解：因为二次项系数含有参数， 所以当时，即时，此时函数为的一次函数，故将代入得，即函数与x轴的交点只有一个为（1，0）
当时，即，此时函数为二次函数， ， （1）当时，，二次函数与x轴的交点只有一个，将代入函数得， 解得，从而交点的坐标为（1，0）
（2）当时，，二次函数与x轴的交点有两个，将代入得，从而解得，即两个交点的坐标分别为：， 综上所述，当或时，函数的图像与x轴只有一个交点（1，0）；
当且时，函数图像与x轴有两个不同的交点：，。

注意：函数的表达式含参数，所以需要对其进行分类讨论，这是根据函数自身的性质引起的分类讨论。例题中首先对二次项系数的分类讨论，是否为零考虑是一次函数还是二次函数，及使二次函数的是否为零体现了分类讨论思想的完整性原则。根据参数的讨论情况，可以符合题意情况整合在一起，使答案层次更加清晰。

例7 直线与x轴、y轴分别交于点M（3，0），点N（0，4），如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标。

解析：本题是一次函数与圆的相切问题，圆心可动，需要分类讨论，可分类两大类：在x轴上或在y轴上；
四小类：x轴上在直线左侧或右侧，y轴上在直线上方或下方。

解：当点在y轴上，并且在N点的下方时，设圆与直线相切于点A，连接，则。

所以， 因为， 所以， 所以。

在中，, 所以；

又因为， 所以 所以点的坐标为（0，0）。

当点在x轴上，并且在M点左侧时，同理可得点的坐标为（0，0）。

当点在x轴上，并且在M点右侧时，设圆与直线相切于点B，连接,则；

所以 又因为 所以 所以 所以点坐标为（6，0）；

当点在y轴上，并且在N点的上方时，同理可得， 所以 所以点坐标为（0，8）
综上P点坐标为（0，0），（6，0），（0，8）。

注意：函数与圆的综合题，首先对于函数与圆的基本性质需认真把握，常涉及的是位置关系问题，相交、相切、相离等，找到分类的依据后需细致且勿遗漏。解决此类问题重要的是把握标准，正确分类。本题除了是在x轴上或y轴上进行讨论，在后续更具体分为左右侧、上下方，这满足分类讨论思想的逐级性原则。在作答过程中，做到不重复不遗漏、条理清晰、层次清楚。在逐级分类讨论结束后，根据讨论情况，将整合在一起，使其更加简洁明了。在分类讨论过程中采用了并列格式进行作答，规范作答过程，划分了逐级分类的讨论情况，一目了然，有助于学生理解两个分类的具体讨论情况。

4 提高初中生分类讨论思想应用能力的几点建议 通过对初中数学教材的简要分析，得到在初中数学学习中需要经常用到分类讨论思想，但初中生在解答数学题中的分类讨论意识不足，即便有分类的意识，仍然无法正确的进行讨论，缺乏分类讨论的准确性。这就需要教师们在平常的教学工作中，对分类讨论思想在初中课程安排中有更加清晰的认识。为此提出以下几点建议：
4.1 课堂中加强数学思想的渗透 教师除了要把握好对基础知识和基本技能的教学，更应该注意数学思想在课堂中的渗透。例如，数与式的知识板块中，对绝对值问题、含参数问题需要进行分类讨论的知识点进行点拨，让学生在课堂上以及课后的学习上有分类讨论思想的意识，而不仅仅是强调课堂上知识内容本身的学习，由于这块知识内容在中考题中大多以选择和填空的形式出现，教师们可以根据考查形式更有针对性的对分类讨论思想在集合内容中进行渗透。教师在教学中，应适当提醒学生在作答过程中考虑分类的情况，增强学生分类讨论的意识。因为数与式模块是初中数学中首先用到分类讨论思想的，对后续的学习会产生影响，应得到教师的重视。另外，由于函数自身的性质引起分类讨论，这就使得教师们在讲解函数知识模块中要加强分类讨论意识的点拨，提高学生的思维能力和解题能力。教师在讲解到这类题型时，可以引导学生进行思考，通过学生间的讨论情况以及课堂上的交流，对此类问题及时进行总结归纳，在课堂中进行渗透，从而提高学生分类讨论能力，增强学生数学素养。

4.2 加强学生基础知识的学习 对需要进行分类讨论的题目开展分类讨论是无法一蹴而就的，学生在日常的学习中应当注意基础知识的学习，稳扎稳打，才能增强自身的数学知识能力。初中的数学越来越注重抽象思维能力的培养，这就需要学生认真对待数学基础知识的学习，从最开始就学好数学的基本内容。学生不仅要掌握数学思想在题目中的具体运用，也要善于学习与巩固基础知识，在学习过程中，学会归纳整理初中数学中重要的定义、定理和公式，利用课余时间消化好这些数学的基础知识，以更好的状态备战中考数学。

4.3提高意识，增加练习量 通过对分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用的内容讨论，可以发现在初中数学中很多知识模块都要涉及到分类讨论思想，学生在解题过程中，缺乏分类讨论意识，容易造成答案遗漏或错误。想要更好的应对分类讨论的题目，就需要加大对相关的例题的训练，量变是质变的前提，质变是量变的结果。在解题过程中发现自己的不足，提高自己的分析能力和解题能力。例如，在函数的考查中，有一种很明显的情况需要进行分类讨论，遇到形如的情况，对于二次项系数是参数，需要考虑参数是否为零的情形，这时候就有一次函数和二次函数两种不同的函数需要进行讨论，如果直接忽略掉参数为零的情形，这样的分类则不满足分类讨论的完整性原则，也无法得出最终正确的答案。所以，学生在日常学习中，遇到含有参数的题目，在脑袋里应该考虑到该题是否需要进行分类讨论，提高分类讨论思想在解答题目时具体运用的意识，并且适当的增加该类型题目的训练量，做到对系数的参数可以层次分明的展开讨论，熟练的运用函数关于根的问题的求解方法。像这类的题目，学生起初无法很熟练并正确的作答，但可以通过增加该类题目的训练，慢慢熟悉这类题目分类讨论的技巧与步骤，做到熟能生巧，真正掌握分类讨论思想在这类数学题中的运用方法。

4.4 端正学生学习态度 在学习过程中，只有先有正确的学习态度，才能够更大的发挥学习的作用。对分类讨论中的疑问应与同学积极探讨或向老师寻求帮助，及时对分类讨论这类的题型进行归纳总结，收获不同的心得体会。学生在学习过程中，学生可以对分类讨论思想在几何、函数、解方程等方面的应用进行归纳总结，避免在下次遇到该类题目时仍不知所措，或是再犯下相同的错误。由于初中数学知识点较多，难度也有所提高，学生在学习过程中应自觉复习巩固已经学过的知识并及时进行归纳整理，以便更好的应对各个类型的题目。

5 结 论 在分析分类讨论思想在初中数学解题中的几类应用时，深刻体会到分类讨论思想在初中数学解题中的不足之处和广泛性，从数与式、解方程、几何和函数这四大方面列举经典例题进行剖析，将分类讨论的基本原则、归纳形式和常见类型在具体题目中体现出来，指出学生在分类讨论中容易忽视和遗漏的内容，规范学生的答题过程，可以使学生懂得分类讨论的实质是化整为零，各个击破，再积零为整，从而全面提高学生的数学素养。同时，从几个方面提出提高初中生分类讨论思想水平的具体建议。

在此次研究工作中，深知仍有一些不足之处，例如，在针对分类讨论思想所提出的一些建议，所涉略的范围较狭窄，分析得不够全面。尽管如此，此次研究过程仍为自己在今后的学习中积累了宝贵的经验，希望未来能进一步探究分类讨论思想在初中数学教学中的具体应用，并提出更加全面和更加有效的解题技巧，以便于在教学实践当中加以运用。

参 考 文 献 [1]（俄）A.D.亚历山大洛夫等.数学——它的内容,方法和意义（第三卷）[M].孙小礼,赵孟养,裘光明等译.北京:科学出版社,2012:22-23. [2]（美）G•波利亚.数学的发现[M].刘远图译.北京:科学出版社,1982:18-19. [3]（日）米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中,吴素华译.成都:四川教育出版社,1986:56-57. [4]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉:华中理工大学出版社,1983:121-122. [5]郑毓信.数学方法论入门[M].杭州:浙江教育出版社,1985:23-25. [6]王仲春.李元中.顾莉雷等.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社,1989:56-58. [7]钱飒玲.中学数学思想方法[M].北京:北京师范大学出版社,2001:37-38. [8]戴三红.化零为整,各个击破——分类讨论思想浅析[J].中学生天地（C版），2009（2）:16-16. [9]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社，2009：22-23. [10]马爱平.陈德前.重视反思 用好资源 总结提升——分类讨论思想的应用[J].中学数学,2018(04):93-97. [11]杨清水.热点重点难点专题透析——2016高考第二轮复习用书（数学文科）[M].南昌：江西教育出版社，2015：158-159. [12]汪立爱.谈初中数学中的“分类讨论”思想[J].中学数学教学参考，1988 (10):7-8.

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