4.5利用全等三角形测距离,同步检测北师大版七年级数学下册（含答案）

北师大版七年级数学下册第四章4.5利用全等三角形测距离 同步测试 一．选择题 1．利用三角形全等测量距离的原理是( ) A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边相等 C．大小和形状相同的两个三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形全等 2．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 3．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA 4．如图，将两根钢条AA＇、BB＇的中点O连在一起，使AA＇、BB＇可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A＇B＇的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA＇B＇的理由是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 5．如图，AB⊥BC，OB＝OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB，由此判定△AOB≌△DOC的依据是（　　）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS 6．在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，测得AB＝a，EF＝b，圆柱形容器的壁厚是（　　）
A．a B．b C．b﹣a D．（b﹣a）
7．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( ) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 9．如图1，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2 11．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150° 二．填空题 13．如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到判定三角形全等的方法是 ． 14．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE＝20米，则AB＝　 　． 15．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是　 　cm． 16．如图，在新建的小区中，有一条“”字形绿色长廓，其中，在，，三段绿色长廊上各修一凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．要想知道与的距离，只需要测出线段__________的长度．理由是：可以说明__________，从而由全等三角形的对应边相等得出__________． 17．阅读理解题：某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：(Ⅰ)如图1，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
(Ⅱ)如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．问：
图1　　　　　图2 (1)方案(Ⅰ)是否可行？ ，理由是 ；

(2)方案(Ⅱ)是否可行？ ，理由是 ；

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ) (填“成立”或“不成立”)． 18．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是　 　． 三．解答题 19．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：
②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米． （1）河的宽度是　　米． （2）请你说明他们做法的正确性． 20．如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步． （1）根据题意，画出示意图；

（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 21．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打出，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由． 22．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？ 23．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰为BC中点，且E，F，M在同一条直线上，在BE段道路上停放了一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？说明其中的道理． 24．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？ 25．如图，树AB与树CD之间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，且两条视线的夹角正好为90°，EA＝ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，求小华行走到点E的时间． 北师大版七年级数学下册第四章4.5利用全等三角形测距离 答案提示 一．选择题 1．利用三角形全等测量距离的原理是(B) A．全等三角形对应角相等 B．全等三角形对应边相等 C．大小和形状相同的两个三角形全等 D．三边对应相等的两个三角形全等 2．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；

B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；

C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；

D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；

故选：A． 3．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA 解：在△ABC和△MBC中， ∴△MBC≌△ABC（ASA）， 故选：D． 4．如图，将两根钢条AA＇、BB＇的中点O连在一起，使AA＇、BB＇可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A＇B＇的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA＇B＇的理由是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 解：△OAB与△OA′B′中， ∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O， ∴△OAB≌△OA′B′（SAS）． 故选：B． 5．如图，AB⊥BC，OB＝OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB，由此判定△AOB≌△DOC的依据是（　　）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABO＝∠OCD＝90°， 在△ABO和△DCO中 ， ∴△ABO≌△DCO（ASA）， 则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，也可以利用AAS得出． 故选：B． 6．在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，测得AB＝a，EF＝b，圆柱形容器的壁厚是（　　）
A．a B．b C．b﹣a D．（b﹣a）
解：连接AB． 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC， ∴AB＝CD＝a， ∵EF＝b， ∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a）， 故选：D． 7．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是(D) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 解：∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠ABC=∠EDC=90°， 在△EDC和△ABC中， ， ∴△EDC≌△ABC（ASA）． 故选B． 9．如图1，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2 解：由折叠知△BDC ≌△BDC ∴∠C′BD=∠CBD=22.5° ∠C′=∠C=90° ∴∠C′BC=45° 又∵∠ABC=90° ∴∠ABE=45° 易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°。

综上所述共有5个角为45°，判故选A。

11．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 解：设△DEF的面积为s，边EF上的高为h， ∵△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米 ∴两三角形的面积相等即s＝18 又S＝•EF•h＝18， ∴h＝6 故选：A． 12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150° 解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠2＝∠3，∠1＝∠4， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠ABC+∠DFE＝90°． 故选：B． 二．填空题 13．如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到判定三角形全等的方法是ASA． 14．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE＝20米，则AB＝　20米　． 解：∵点C是AD的中点，也是BE的中点， ∴AC＝DC，BC＝EC， ∵在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴DE＝AB， ∵DE＝20米， ∴AB＝20米， 故答案为：20米． 15．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是　80　cm． 解：在△OCF与△ODG中， ， ∴△OCF≌△ODG（AAS）， ∴CF＝DG＝30（cm）， ∴小明离地面的高度是50+30＝80（cm）， 故答案为：80． 16．如图，在新建的小区中，有一条“”字形绿色长廓，其中，在，，三段绿色长廊上各修一凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．要想知道与的距离，只需要测出线段__________的长度．理由是：可以说明__________，从而由全等三角形的对应边相等得出__________． 【答案】，≌， 17．阅读理解题：某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：(Ⅰ)如图1，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
(Ⅱ)如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．问：
图1　　　　　　　图2 (1)方案(Ⅰ)是否可行？可行，理由是SAS；

(2)方案(Ⅱ)是否可行？可行，理由是ASA；

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是构造全等三角形，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)成立(填“成立”或“不成立”)． 18．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是　 　． 答案：全等三角形对应边相等. 解：∵O是AB、CD的中点， ∴OA=OB，OC=OD， 在△AOD和△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴CB=AD， ∵AD=30cm， ∴CB=30cm． 所以，依据是全等三角形对应边相等． 三．解答题 19．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：
②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米． （1）河的宽度是　5　米． （2）请你说明他们做法的正确性． 证明：（1）由题意知，DE＝AB＝5米，即河的宽度是5米． 故答案是：5． （2）如图，由题意知，在Rt△ABC和Rt△EDC中， ∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）
∴AB＝ED． 即他们的做法是正确的． 20．如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步． （1）根据题意，画出示意图；

（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 解：（1）所画示意图如下：
（2）在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE， 又∵小刚共走了140步，其中AD走了60步， ∴走完DE用了80步， 小刚一步大约50厘米，即DE＝80×0.5米＝40（米）． 答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米． 21．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打出，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由． 解：∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm， ∴OC＝OA， ∵墙体是垂直的， ∴∠OAB＝90°且CD⊥OC， ∴∠OAB＝∠OCD＝90°， 在Rt△OAB和Rt△OCD中，， ∴Rt△OAB≌Rt△OCD（ASA）， ∴DC＝AB， ∵DC＝20cm， ∴AB＝20cm， ∴钻头正好从B点处打出． 22．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？ 解：DE＝AB，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠B＝∠EDC＝90°． 在△ABC和△EDC中，， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED． 23．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰为BC中点，且E，F，M在同一条直线上，在BE段道路上停放了一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？说明其中的道理． 解：测出CF的长即为BE的长． 由道路AB∥CD可知∠B＝∠C. 又因为M为BC中点，所以BM＝CM. 又因为∠EMB＝∠FMC， 所以△EMB≌△FMC(ASA)． 所以BE＝CF. 24．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？ 解：AA′＝BB′. 理由：因为O是AB′，A′B的中点，所以OA＝OB′，OB＝OA′. 又因为∠A′OA＝∠B′OB， 所以△A′OA≌△BOB′(SAS)． 所以AA′＝BB′. 25．如图，树AB与树CD之间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，且两条视线的夹角正好为90°，EA＝ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，求小华行走到点E的时间． 解：∵∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°． ∵∠ABE＝90°， ∴∠A+∠AEB＝90°． ∴∠A＝∠DEC， 在△ABE和△DCE中 ∵， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴EC＝AB＝5m． ∵BC＝13m， ∴BE＝8m． ∴小华走的时间是8÷1＝8（s）．

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