2023蒙特卡罗方法概率统计中应用毕业设计(论文)

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摘要 概率分布描述了随机变量的统计规律性,许多常见的概率分布在不同的理论和实际问题中扮演着极其重要的角色。然而这些概率分布彼此不是相互孤立的,他们之间都具有一定的联系。

　　本文首先介绍统计学发展概况，然后给出几种常见统计分布的定义和性质，并详细阐述二项分布与泊松分布的关系，二项分布、泊松分布、2 分布、 t 分布和F 分布与正态分布的关系，2 分布与 F 分布的关系， t 分布与 F 分布的关系,最后详细介绍蒙特卡罗方法在概率统计中的应用。

　　 关键词：随机变量，统计分布，概率密度函数，蒙特卡罗方法 Abstract Probability distribution describes the statistical regularity of random variable, and many common probability distribution play an extremely important role in different theoretical and practical issues. However, these probability distributions have a certain degree of contact rather than mutual isolation of each other. This paper first introduces the development of statistics, and then provides the definitions and properties of several kinds of common statistical distribution, and explains the relationship between the binomial distribution and the Poisson distribution, the relationship among binomial distribution, Poisson distribution, 2 distribution, t distribution and F distribution, the relationship between the 2 distribution and F distribution, the relationship between t distribution and F distribution, finally explains the application which the Monte Carlo method play in probability statistics. Key words: random variables, statistical distribution, density function of probability, the Monte Carlo method 目录 第一章 引言 ....................................................... 1 研究背景 ....................................................... 1 统计学的研究现状及发展 ......................................... 1 本文研究的内容 ................................................ 2 本文的结构 .................................................... 2 第二章 一些常见统计分布 ........................................... 3 二项分布 ....................................................... 3 泊松分布 ....................................................... 4 正态分布 ....................................................... 5 2 分布 ........................................................ 8 t 分布 ......................................................... 10 F 分布 ........................................................ 10 第三章 常见统计分布间的关系 ...................................... 13 二项分布与泊松分布的关系 ...................................... 13 二项分布与正态分布的关系 ...................................... 13 泊松分布与正态分布之间的关系 .................................. 14 2 分布与正态分布的关系 ....................................... 16 t 分布与正态分布的关系 ......................................... 19 F 分布与正态分布的关系 ........................................ 20 2 分布与 F 分布的关系 ......................................... 21 t 分布与 F 分布的关系 .......................................... 26 第四章 蒙特卡罗方法在概率统计中的应用 ............................. 28 蒙特卡罗方法概述 .............................................. 28 蒙特卡罗模拟在概率统计中的应用 ................................ 29 用蒙特卡罗方法展示几种统计分布间的关系 ........................ 36 第五章 结束语 ..................................................... 40 参考文献 ........................................................... 41 致谢 ............................................................... 41 外文资料原文 ....................................................... 42 外文资料译文 ....................................................... 46 第一章 引言 研究背景 统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。

　　 统计学主要又分为描述统计学和推断统计学。给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据，这个用法称作为描述统计学。另外，观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以被称作为应用统计学。另外也有一个叫做数理统计学的学科专门用来讨论这门科目背后的理论基础。

　　要了解随机性或是机率必须具备基本的数学观念。数理统计是应用数学的分支，它使用机率论来分析并且验证统计的理论基础。

　　概率分布描述了随机变量的统计规律性,许多常见的概率分布在不同的理论和实际问题中扮演着极其重要的角色。然而这些概率分布彼此不是相互孤立的,他们之间都具有一定的联系。探讨各个概率分布间的逻辑关系,不仅在计算应用中非常重要,而且在理论研究上也很重要。

　　 统计学的研究现状及发展 在科学技术飞速发展的今天，统计学广泛吸收和融合相关学科的新理论，不断开发应用新技术和新方法，深化和丰富了统计学传统领域的理论与方法，并拓展了新的领域。今天的统计学已展现出强有力的生命力。在我国，社会主义市场经济体制的逐步建立，实践发展的需要对统计学提出了新的更多、更高的要求。随着我国社会主义市场经济的成长和不断完善，统计学的潜在功能将得到更充分更完满的开掘。

　　第一，对系统性及系统复杂性的认识为统计学的未来发展增加了新的思路。由于社会实践广度和深度迅速发展，以及科学技术的高度发展，人们对客观世界的系统性及系统的复杂性认识也更加全面和深入。随着科学融合趋势的兴起，统计学的研究触角已经向新的领域延伸，新兴起了探索性数据的统计方法的研究。研究的领域向复杂客观现象扩展。21 世纪统计学研究的重 点将由确定性现象和随机现象转移到对复杂现象的研究。如模糊现象、突变现象及混沌现象等新的领域。可以这样说，复杂现象的研究给统计开辟了新的研究领域。

　　第二，统计科学与其他科学渗透将为统计学的应用开辟新的领域。现代科学发展已经出现了整体化趋势，各门学科不断融合，已经形成一个相互联系的统一整体。由于事物之间具有的相互联系性，各学科之间研究方法的渗透和转移已成为现代科学发展的一大趋势。许多学科取得的新的进展为其他学科发展提供了全新的发展机遇。模糊论、突变论及其他新的边缘学科的出现为统计学的进一步发展提供了新的科学方法和思想。将一些尖端科学成果引入统计学，使统计学与其交互发展将成为未来统计学发展的趋势。统计学也将会有一个令人振奋的前景。今天已经有一些先驱者开始将控制论、信息论、系统论以及图论、混沌理论、模糊理论等方法和理论引入统计学，这些新的理论和方法的渗透必将会给统计学的发展产生深远的影响。

　　统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域、统计理论与分析方法也将不断发展，在所有领域展现它的生命力和重要作用。

　　 本文研究的内容 ⑴．主要研究方向为一些常见统计分布。

　　 ⑵．给出这几种统计分布的定义和性质。

　　⑶．详细探究这几种常见统计分布间的内在联系 ⑷．简述 MonteCarlo 方法在概率统计中的应用。

　　⑸．用蒙特卡罗方法展示几种统计分布间的关系。

　　 本文的结构 第一章主要介绍本文的研究背景以及本文研究内容和结构。

　　第二章分类介绍一些常见统计分布，给出它们的定义和性质。

　　第三章探究这几种常见统计分布间的内在联系。

　　第四章介绍MonteCarlo方法及其在概率统计中的应用，并用蒙特卡罗方法展示几种统计分布间的关系。

　　第五章为结束语，主要是对本文的研究工作和成果进行总结，并探讨将来的研究内容和方向。

　　 第二章 一些常见统计分布[1][2] 二项分布 定义 一般地，若我们进行次 n 独立试验，每次试验只有两个可能的结果，要么事件 A 发生，要么 A 不发生，且 ( ) p P A  , ( ) q P A  , 1,0 1 p q p     ，用 X 表示这n 次事件中 A 发生的次数，则 ( ) , 0,1, ,m m n mnP X m C p q m n   （） 这个分布叫做二项分布，这种类型的试验叫做 n 重贝努利试验，并记作 ( , ) X B n p 。

　　 性质 性质 1：

　　( ) 0, 0,1,..., P X m m n    0( ) ( ) 1nnmP X m p q    。

　　 性质 2：若 0.5 p  ，则称二项分布是对称的；若 0.5 p  ，则分布是非对称的。但当 n 越大时非对称性越不明显。

　　性质 3：如1 ,..., nY Y 独立同分布，且分布为两点分布，参数为 p ，则 1...nX Y Y    服从二项分布 ( , ) B n p 。

　　 性质 5：二项分布 ( , ) B n p 的期望和方差分别为 ( ) , ( ) E X np D X npq   。

　　性质 6：二项分布 ( , ) B n p 的矩母函数和概率母函数分别为：

　　 ( ) ( ) , ( ) ( )t n nM t q pe t q pt     。

　　性质 7：二项分布 ( , ) B n p 的分布函数 ( ) F x 为：

　　min([ ], )0( ) 00 0x nmP X m xx  性质 8：当 n 和 x 给定时，二项分布 ( , ) B n p 的分布函数 ( ) F x 是 p (0 1) p   的单调下降函数。 性 质 9 ：

　　若1 ,..., mX X 独 立 ， 且 ( , )i iX B n p ， 1,2,..., i m  ， 则1... ( , )mX X X B n p    ，其中1...mn n n    。

　　 泊松分布 定义 设随机变量 X 的分布律为   , 0,1,2,...; 0!kP X k e kk    ， （） 则称随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，记作 ( ) X P  . 性质 性质 1：泊松分布的分布律   0, 0,1,2,... P X k k    ；

　　  0 01!kk kP X k e e ek          性 质 2 ：

　　当 k   时 ，   1 P X k P X k     ；

　　当 k   时 ，    1 P X k P X k     。如  不是整数，则   P X k  在[ ] k   处达到极大值；如 是整数，则   P X k  在 k   和 1 k    处同时达到极大值。

　　 性质 3：泊松分布的分布函数  [ ]0( )xkF x P X k  。当 x 固定时， ( ) F x是  的非增函数。

　　性质 4：泊松分布是非对称的，但当  越大是非对称性越不明显。

　　 性质 5：泊松分布的期望和方差分别为 ( ) , ( ) E X D X     。

　　 性质 6：泊松分布的矩母函数和概率母函数分别为 ( ) exp[ ( 1)], ( ) exp[ ( 1)]tM t e t t       。

　　性质 7：若1 ,..., nX X 是独立同分布的随机变量，则 1( ) X P  等价于1( )niiX P n  。

　　性质 8：设随机变量1 ,..., nX X 相互独立，且 ( )i iX P  ， 1,2,..., i n  ，则 1( )niiX P  ，其中1...n      。

　　性质 9：设随机变量1 1( ) X P  和设随机变量2 2( ) X P  独立，则给定1 2X X 的 值 时 ，1X 的 条 件 分 布 为 二 项 分 布 ， 即1 1 2( ) ( , ) X X X x B x p   ， 其 中1 1 2/( ) p      。

　　 正态分布 定义 在实际生活中，许多随机变量如成年男(女)子的高度、重量；加工零件的尺寸，每包大米(同一规格)的重量；钢的含碳量；胶片的粒数；测量的误差，射击目标的水平或垂直偏差等都服从同一类分布，叫正态分布。

　　在连续型随机变量的分布中，正态分布占有特殊的地位，因为正态分布为总体分布的统计理论内容已十分丰富，应用极为广泛，并派生出许多重要的分布，如 t 分布、2 分布、F 分布等，讨论这些分布的性质构成了本章的内容。连续型随机变量的性质可通过分布密度来描述，所以在介绍每一个具体分布时，我们首先用分布密度来定义它们，然后讨论它们的性质。

　　定义：若随机变量 X 的概率密度函数是 221 1( ) exp( ( ) ),2 2f x x u x        （） 则称 X 服从正态分布，并记作 X N(  ,2 )。当  =0，  =1 时，相应的分布 N(0,1)叫做标准正态分布。

　　首先我们需要验证 ( ) f x 的确是一个分布密度。

　　（1） ( ) f x >0 对一切x     成立。

　　（2）221 1( ) exp[ ( ) ]2 2f x dx x u dx       2 /2 1 1. 2 12 2ye dy     性质 正态分布的性质是相当丰富的，这里仅仅列出一些最基本的。

　　性质 1：

　　( ) f x ，这个图形有如下性质：

　　a. 只有一个蜂，峰值在 x   处，且图形关于直线 x   对称。

　　b. 图形无论向左或向右延伸，都愈来愈接近横轴，但不会与横轴相交，即以横轴为浙近线。

　　 ( ) f x ，  越大，图形越胖；

　　 越小，图形越廋。

　　 正态分布 性质 2：若2( , ) X N   ，则 ( )/ (0,1) Y X N     ;反之，若 (0,1) Y N ，则2( ...

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